1、倒三角关系
2、对角线关系
3、顺时针关系
在直角三角形中，一个锐角∠A的正割定义为它的斜边与邻边的比值。
如果一个函数 f 满足下列形式，我们就称之为多项式函数。
如果函数 f 可以表示为两个多项式的比值，我们就称之为有理函数，即：
函数在某点连续的数学定义
函数在区间上连续的定义
如果函数 f 在定义域的某个区间上的每一个点都连续，那么函数在这个区间上连续。（如果函数 f 在区间的左（右）端点有定义，而在右（左）端点没有定义，我们把这个连续性理解为自端点右（左）侧 连续。）（定义3）
定理4 若函数 f 和 g 都在 a 点连续，且 c 为常数，那么下面的函数也在 a 处连续。
定理5 多项式函数和有理函数在定义域内连续。
定理7 下列形式的函数在定义域上的每个点上都是连续的。
1. 多项式函数； 2. 有理函数； 3.根式函数； 4. 三角函数
介值定理(The intermediate Value Theorem )
导函数的微分符号记法
导函数有多种表达方式，常见的如下所示：
基本初等函数求导公式
复合函数的求导法则（又称链式法则）
对隐函数求导，我们该怎么做呢？
第一步，对方程两边求关于 x 的微分，这样就可以得到一个关于 y’ 的方程；
第二步，在微分后的方程中求解y’既可。
费马引理
表述：如果函数 F在c点有局部极大值或局部极小值，且该点的导数存在，那么F'(c)=0。
要注意的是，并不是说有了费马引理，我们就可以肆无忌惮地利用它去寻找极值，过度解读费马引理是不对的
左边这个函数虽然在x=0处的导数等于0，但是此处并没有极值；右边函数虽然在x=0处有极值，但是x=0处导数不存在。
既然如此，费马引理有什么用呢？它告诉我们在找极值的时候，至少先要考察一下c点的导数（不论这个导数是等于0，还是不存在）。
临界点：若函数定义域内某点处的导数等于0或不存在，或者在该点有极值，则称该点为临界点。
闭区间连续函数的最值求法
连续函数的最值要么出现在闭区间的端点上，要么出现在局部极值上。
所以，为了求连续函数在闭区间[a,b]内的最值，一般会进行下面三个步骤：
- 寻找函数在开区间(a,b)内的临界点的函数值；
- 寻找函数在区间端点处的函数值；
- 比较步骤1和步骤2中得到的函数值，就有最大值和最小值了。
罗尔定理
表述：如果函数 f 满足下列三个假设：f 在闭区间 [a,b] 上连续；在开区间 (a,b) 上是可微分的； f(a)=f(b) ；那么，在开区间 (a,b)内一定存在数c，使得 f'(c)=0 。
罗尔定理中条件 f(a)=f(b) 的特殊性，使其应用受到了很大的限制，如果取消此条件，其他条件保留，相应的改变结论，便得到了拉格朗日中值定理。
拉格朗日中值定理
一般地讲，拉格朗日中值定理告诉我们这样一件事：在区间内一定存在一个瞬时变化率，它与该区间的平均变化率相等。这使得我们可以通过导数的信息来窥测原函数的某些信息。
格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。
拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。
二阶导数与函数的极值
无穷远处的极限
水平与垂直渐近线
二次方三次方求和公式：
反导数antiderivative（不定积分的前奏）
小补充
我们经常采用西格玛符号来更简洁地书写求和公式，比如
定积分的定义
黎曼和：
注释5： 我们已经定义了一个可积函数的定积分，但并不是所有的函数都是可积的。下面的定理表明，最常见的函数实际上是可积的。
使用西格玛符号时常用的一些简单规则：
黎曼和的中点法则
我们已经知道，在对函数图像在区间内进行矩形分割的时候，样本点既可以选择子区间的左端点，也可以选择子区间的右端点，当子区间越多时，它们对相应定积分的近似就越精确。然而它们一个总是把面积估算大了，另一个总是把面积估算小了。故在求定积分的近似值时，选择子区间的中点会比选择左端点或右端点来得更精确。我们把利用子区间中点作为黎曼和定积分的近似方法称为中点法则。
定积分的性质
积分的比较性质
微积分基本定理（牛顿-莱布尼兹公式）
微积分基本定理的第一部分（简称FTC1）
微积分基本定理的第二部分（简称FTC2）
之前，我们用黎曼和的极限或面积法解过定积分，但有时候过程挺困难和复杂的。但是，有了微积分基本定理的第二部分为我们提供了一种计算积分的更简单的方法。
不定积分:
根据牛顿-莱布尼茨公式，许多函数的定积分的计算就可以简便地通过求不定积分来进行。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。
总结
微积分基本定理的两大公式为
我们注意到，第一个式子其实可以改写为
第二个式子可以改写为
这样，我们可以看到，微积分的基本定理把微分和积分统一起来的，微分和积分其实是互为逆运算的过程。微积分基本定理无疑是微积分中最重要的定理，它是人类思想的伟大成就之一。在它被发现之前，从阿基米德和欧德修斯到伽利略和费马，求面积、体积和曲线长度的问题是很困难的，只有天才才能应付这样的挑战。但是我们将在接下来的篇章中看到，有了牛顿和莱布尼茨根据基本定理建立起来的系统方法，这些具有挑战性的问题对我们所有人都是可以完成的。
函数的变化率的定积分等于函数值的变化量
换元法求积分
使用换元法的主要困难是找到一个合适的换元策略。将 u 作为被积函数中的某一部分函数时，它的微分最好也会出现在被积函数中，这就例1中的情况。如果这种操作有困难，就需要在被积函数中换另一部分函数换元，换元是一门儿艺术，如果换元后行不通，就多次尝试几次也许就会成功。
求定积分的换元法
如果遇到求定积分，那么它换元法思路和不定积分一样。只不过，这个时候需要改变一下原定积分的上下限为新变量的上下限。
